Задачи на совместную работу: разбор для 5-6 класса
Задачи на совместную работу решаются по одной схеме: сначала считаем, сколько работы каждый выполняет за час или за день, потом складываем эти части и делим всю работу на полученную сумму. Больше всего ошибок приходится на первый шаг, когда ребёнок ещё не решил, что считать целой работой. Дальше разберём схему на трёх задачах с числами и на ошибках, которые повторяются чаще всего.
Задачи на совместную работу и общая схема решения
В таких задачах два исполнителя делают одно дело одновременно: два мастера работают над одним заказом, две трубы наполняют бассейн, два принтера печатают один тираж. Известно, за сколько справляется каждый по отдельности, а найти нужно общее время.
В основе решения лежит производительность, то есть количество работы за один час или за один день. Если в заказе 12 деталей и мастер делает их за 6 дней, его производительность равна 2 деталям в день.
- Принять всю работу за удобное число, которое делится на оба времени из условия.
- Посчитать производительность каждого исполнителя: разделить всю работу на его время.
- Сложить производительности и разделить всю работу на полученную сумму.
Вместе исполнители справляются быстрее, чем каждый в одиночку, поэтому ответ всегда меньше меньшего из времён в условии. Это первая проверка, которую ребёнок может сделать сам.
Ситуация за домашней работой: ребёнок знает правила, но не решает задачу
Типичный вечер выглядит так. В тетради условие: первый мастер выполняет заказ за 6 дней, второй за 12 дней, за сколько дней они выполнят заказ вместе. Ребёнок складывает числа и пишет 18 дней. Или делит их пополам и пишет 9 дней. Или сидит над пустой строкой, потому что складывать вроде бы нечего.
При этом дроби он складывает правильно, а деление отработано ещё в начальной школе. Дело в самом условии: числа в нём обозначают время, а работы в числах нет вообще. Ребёнку нужно ввести её самому, и этому шагу в школьном темпе редко достаётся отдельный урок. У пятиклассников это одна из частых причин, по которым оценки по математике в 5 классе идут вниз.
Разбор по шагам: заказ, который выполняют два мастера
Возьмём то же условие: первый мастер выполняет заказ за 6 дней, второй за 12 дней. Решаем без дробей, через удобное число.
- Вводим работу. Нужно число, которое делится и на 6, и на 12. Подойдёт 12: пусть в заказе 12 одинаковых деталей.
- Считаем каждого. Первый: 12 : 6 = 2 детали в день. Второй: 12 : 12 = 1 деталь в день.
- Складываем работу за день. Вместе: 2 + 1 = 3 детали в день.
- Делим весь заказ. 12 : 3 = 4 дня.
- Проверяем. За 4 дня первый сделает 8 деталей, второй 4 детали, всего 12. Ответ: 4 дня, и он меньше 6 дней, как и должно быть.
В 6 классе тот же разбор записывают через дроби: вся работа это 1, первый делает за день 1/6 работы, второй 1/12, вместе 1/6 + 1/12 = 1/4, а значит на весь заказ уходит 4 дня. Полезно показать оба способа рядом: ребёнок видит, что дроби не новая тема, а короткая запись того же рассуждения. Если действия с дробями пока даются тяжело, начните с объяснения дробей в 5 классе.
Вопросы, которые стоит задать ребёнку по ходу решения
- Что в этой задаче считаем работой и сказано ли в условии, сколько её?
- Какое число делится и на 6, и на 12?
- Сколько деталей делает первый мастер за один день, а второй?
- Что мы складываем: дни или детали за день?
- Ответ получился больше или меньше, чем 6 дней у первого мастера?
Задавайте вопросы по одному и ждите ответа, даже если пауза длинная. На такой разбор уходит 10–15 минут, и он даёт больше, чем три задачи, решённые за ребёнка.
Две задачи посложнее: дробный ответ и неизвестное второе время
Первая труба наполняет бассейн за 4 часа, вторая за 6 часов. За сколько наполнят вместе? Берём 12 частей: первая труба даёт 3 части в час, вторая 2 части, вместе 5 частей. Делим: 12 : 5 = 2,4 часа. Ответ дробный, и его нужно перевести в минуты: 0,4 часа это 0,4 умножить на 60, то есть 24 минуты. Вместе трубы наполнят бассейн за 2 часа 24 минуты.
Второй сюжет с перевёрнутым условием. Вместе мастера выполняют заказ за 4 часа, первый в одиночку за 12 часов, за сколько справится второй? Снова 12 частей: вместе 12 : 4 = 3 части в час, первый 12 : 12 = 1 часть в час, значит второй делает 3 − 1 = 2 части в час и выполнит заказ за 12 : 2 = 6 часов. Здесь работает то же правило, только один раз вычитаем.
Ошибки в задачах на совместную работу и их причины
- Складывают время. 6 + 12 = 18 дней. Числа в условии видны, и рука складывает их сама. Помогает проверка: вместе получается быстрее, поэтому ответ меньше 6 дней.
- Берут среднее. (6 + 12) : 2 = 9 дней. Та же проверка отсекает и этот ответ: 9 больше 6.
- Останавливаются на производительности. Ребёнок нашёл 3 детали в день и записал 3 в ответ. Вопрос к нему: три чего, дни или детали?
- Путают десятичную дробь и минуты. 2,4 часа читают как 2 часа 40 минут. В часе 60 минут, поэтому 0,4 часа это 24 минуты.
- Смешивают два способа. Начали считать заказ в 12 деталях, а в последнем действии поделили единицу на 3. Полезная привычка: подписать в начале, чему равна вся работа, и держаться этого числа до ответа.
Три задачи на совместную работу для самостоятельной тренировки
- Первая труба наполняет бассейн за 3 часа, вторая за 6 часов. За сколько часов трубы наполнят бассейн вместе?
- Первый принтер печатает тираж за 10 минут, второй за 15 минут. За сколько минут напечатают тираж два принтера одновременно?
- Вместе маляры покрасили забор за 6 часов. Первый в одиночку покрасил бы его за 10 часов. За сколько часов покрасил бы забор второй?
Ответы собраны в конце статьи. Первые две решаются по основной схеме, третья через вычитание.
Что тема даёт ребёнку в 6 и 7 классе
Задачи на совместную работу это первая тема, где ребёнок работает с величиной, которой нет в условии. Дальше этот навык нужен постоянно. В 6 классе идут дроби, проценты и пропорции, и там снова приходится вводить целое самому. Задачи на движение навстречу решаются той же схемой: вместо производительностей складываются скорости. Та же привычка рассуждать нужна и на нестандартных задачах школьного этапа олимпиады.
В 7 классе начинается алгебра, и то же условие записывают уравнением с дробными коэффициентами. Ребёнок, который проговаривал вслух, что принимает за работу, переходит к букве x спокойно: то же самое он делал на числах, когда решал первые уравнения с окошком в начальной школе.
Как эту тему проходят на занятиях углублённой математики
Программа для 5-6 классов опирается на углублённую школьную программу и задачи повышенного уровня сложности, поэтому одна схема отрабатывается на разных сюжетах и на нестандартных условиях. Занятия идут в мини-группах до 6 человек: дети решают задачи и обсуждают ход решения вслух, а не слушают объяснение молча. Домашнюю работу проверяет и разбирает преподаватель, и родитель видит, на каком именно шаге ребёнок остановился. По наблюдениям преподавателей КВАНТа, такие задачи начинают получаться после того, как ребёнок привыкает называть вслух, что он принял за целую работу. Уровень и подходящую группу определяют на бесплатной диагностике: по её итогам родитель получает карту знаний с сильными сторонами и пробелами, а заодно понимает, готов ли ребёнок к углублённой математике.
Частые вопросы
В каком классе разбирают задачи на совместную работу?
Основная часть таких задач приходится на 5 и 6 класс. К этому времени ребёнок уверенно делит многозначные числа, работает с дробями и понимает, что такое производительность. В программах повышенного уровня похожие задачи дают и раньше, в 4 классе, но там числа подбирают так, чтобы всё делилось без остатка.
Как решать задачи на совместную работу без дробей?
Принять всю работу за удобное число, которое делится на оба времени из условия. Если один выполняет заказ за 6 дней, а другой за 12, берём 12 одинаковых деталей: первый делает 2 детали в день, второй 1 деталь, вместе 3 детали, весь заказ за 12 : 3 = 4 дня. Схема та же, что с дробями, а вычисления проще.
Что делать, если ребёнок не понимает задачи на совместную работу?
Вернуться на один шаг назад и проверить два навыка отдельно от задачи: умеет ли ребёнок находить производительность по времени и понимает ли смысл деления на равные части. Дальше решить с ним три задачи с одинаковыми числами, меняя только сюжет: трубы, мастера, принтеры. Когда схема узнаётся в любом сюжете, ребёнок начинает решать самостоятельно.
Ответы к задачам для тренировки. Первая: 2 часа. Вторая: 6 минут. Третья: 15 часов.
Записаться на бесплатный пробный урок с диагностикой можно в Академии КВАНТ: педагог посмотрит уровень ребёнка и назовёт темы, которые стоит закрыть в первую очередь.
