Принцип Дирихле простыми словами: задачи про кроликов и клетки для 3-6 класса
Принцип Дирихле простыми словами звучит так: если кроликов больше, чем клеток, то хотя бы в одной клетке окажется не меньше двух кроликов. Семь кроликов и шесть клеток: как ни рассаживай, где-то будут сидеть двое. Из этой короткой фразы вырастает целый класс задач, которые дети решают с 3 класса и до олимпиад.
Принцип Дирихле простыми словами: одна фраза и один пример
Кролики и клетки в этой формулировке условные. В задачах их место занимают карандаши и отделения коробки, ученики и месяцы года, носки и цвета: клетки означают то, на что делят, а кролики то, что раскладывают. Для младших классов принцип переводят на совсем обычный язык: предметов больше, чем мест, значит, где-то они лежат по двое.
Проверьте на числах. В коробке 6 отделений, в неё кладут 7 карандашей. Разложите по одному: первое отделение занято, второе занято, и так до шестого. Седьмой карандаш положить некуда, кроме как к соседу. Вывод получен без перебора всех раскладок.
Принцип не называет клетку, в которой лежат два карандаша. Он утверждает, что такая клетка есть. Здесь ребёнок впервые встречает доказательство: утверждение верно для любой раскладки, а проверять их по одной не требуется.
Задача про кроликов и клетки, с которой начинается тема
Классическое условие: 7 кроликов рассаживают по 6 клеткам. Докажите, что хотя бы в одной клетке окажется не меньше двух кроликов.
Первая реакция ребёнка обычно одинаковая: он начинает рисовать варианты. Двое в первой клетке и по одному в остальных. Трое в первой и по одному в трёх других. Вариантов много, через пять минут ребёнок устаёт, а доказательства так и нет. Перебор здесь бесполезен по принципиальной причине: способов рассадить семь кроликов по шести клеткам сотни, и даже сотня проверенных вариантов ничего не доказывает про оставшиеся.
Задача решается с другой стороны. Достаточно проверить единственный случай, который мог бы опровергнуть утверждение: когда ни в одной клетке нет двух кроликов. Тогда в каждой клетке максимум один, клеток 6, значит, кроликов не больше 6. А их 7. Такого случая не бывает, других вариантов не остаётся, утверждение доказано.
Разбор задачи по шагам: как рассуждает ребёнок
Любая задача на принцип Дирихле разбирается по одной и той же схеме из четырёх шагов.
- Найти клетки. Клетки это то, на что делят: отделения коробки, цвета, месяцы года, дни недели.
- Найти кроликов. Кролики это то, что раскладывают: карандаши, носки, ученики класса.
- Сравнить два числа. Кроликов больше, чем клеток? Если да, вывод готов.
- Проговорить вывод. «Хотя бы в одной клетке сидят двое». Слова «хотя бы» ребёнок должен произнести сам.
Возьмите второй пример на тех же четырёх шагах. В ящике лежат чёрные и белые носки, свет выключен. Сколько носков надо достать, чтобы среди них точно нашлась пара одного цвета? Клетки здесь цвета, их два. Кролики это вынутые носки. Чтобы кроликов стало больше, чем клеток, нужно достать три носка. Два могут оказаться разными, третий обязательно повторит один из цветов.
Вопросы, которые родитель задаёт ребёнку по ходу решения
Подсказывать ответ не нужно. Достаточно вести ребёнка вопросами, и он дойдёт сам.
- «Что здесь клетки, а что кролики?» Первый и главный вопрос. Пока роли не разведены, задача не решается.
- «Сколько тех и сколько других?» Ребёнок называет два числа вслух и записывает их рядом.
- «Разложи по одному. Что осталось лишним?» Возврат к предметам, если рассуждение буксует.
- «Можешь показать расстановку, где нигде нет двух?» Ребёнок пробует, у него не выходит, и он сам понимает почему.
- «А если бы кроликов было ровно шесть?» Проверка границы. Тогда вывода нет, и это тоже верный ответ.
- «В какой именно клетке окажутся двое?» Ответ «неизвестно» здесь правильный.
Разбор занимает пять минут, и повторить его стоит на двух-трёх разных условиях подряд. Когда ребёнок начнёт сам задавать себе первый вопрос про клетки и кроликов, схема закрепилась.
Три типичные ошибки в задачах на принцип Дирихле
Ребёнок ищет конкретную клетку
Вопрос «в какой именно клетке двое» ответа не имеет, и условие здесь ни при чём. Принцип доказывает, что клетка существует, адрес он не выдаёт. Если ребёнок застрял, скажите прямо: «Я тоже не знаю, в какой. Докажи, что такая клетка есть».
Кролики и клетки перепутаны местами
В задаче про носки дети нередко считают клетками сами носки, а цветá кроликами. Ответ получается 2 вместо 3. Развести роли помогает один вопрос: что мы раскладываем и куда кладём. Раскладываем носки, а мест всего два, по числу цветов.
Ребёнок называет число клеток вместо ответа
В задачах вида «сколько надо достать» дети отвечают числом цветов: цветов четыре, значит, четыре карандаша. Пропущено одно слово формулировки: кроликов должно быть больше, чем клеток. Значит, к числу клеток прибавляется единица.
Три задачи на принцип Дирихле для самостоятельной тренировки
Для второй и третьей задачи понадобится усиленная формулировка: если кроликов больше, чем удвоенное число клеток, то хотя бы в одной клетке сидят не меньше трёх. Проверяется она тем же рассуждением: по двое в каждой клетке дают ровно удвоенное число, а лишний кролик обязан стать третьим.
- В коробке лежат карандаши четырёх цветов, каждого цвета много. Сколько карандашей надо достать не глядя, чтобы среди них точно оказались два одного цвета?
- В классе 25 учеников. Докажите, что хотя бы трое из них родились в один месяц.
- В мешке лежат красные, синие и зелёные шары, каждого цвета не меньше десяти. Сколько шаров надо достать не глядя, чтобы среди них точно нашлись три шара одного цвета?
Принцип Дирихле готовит ребёнка к задачам на доказательство
В начальной школе задача чаще всего заканчивается числом, и ребёнок привыкает к ответу в одну строку. Принцип Дирихле требует другого ответа: объяснить, почему иначе быть не может. Этот навык становится обязательным в 7 классе, когда начинаются алгебра и геометрия с доказательствами, и он же лежит в основе олимпиадных задач для 4–6 классов. Родителям, которые смотрят на школьный этап олимпиады по математике, эта тема пригодится раньше остальных.
По наблюдениям преподавателей КВАНТа, дети, которые уверенно считают, останавливаются как раз на переходе к рассуждению: решение в голове есть, а записать его как доказательство ребёнок ни разу не пробовал. В программе академии такие задачи разбираются в мини-группах до 6 человек, где дети участвуют в обсуждении вслух и не слушают объяснение молча, а домашнюю работу преподаватель проверяет и разбирает с обратной связью. Для 3–4 классов программа опирается на углублённый курс, «Математическую вертикаль» и материалы Петерсон, а для 5–6 классов на углублённую школьную программу и задачи повышенного уровня.
Тема хорошо ложится и на другие темы средней школы. Рассуждение «по клеткам» помогает в задачах на остатки от деления, а привычка доводить вывод до конца пригодится там, где программа резко прибавляет в объёме: разберите заранее, почему в 5 классе падают оценки по математике и как объяснить ребёнку дроби в 5 классе.
Ответы к задачам для тренировки
- Пять карандашей. Четыре цвета дают четыре клетки. Четыре карандаша ещё могут оказаться разными, пятый повторит один из цветов.
- Клеток 12, по числу месяцев. Если бы в каждом месяце родились не больше двух учеников, всего их было бы не больше 24. Учеников 25, значит, в каком-то месяце родились хотя бы трое.
- Семь шаров. Три цвета дают три клетки. Шесть шаров ещё могут лечь по два на цвет, седьмой даст третий шар одного цвета.
Частые вопросы родителей
С какого класса детям дают задачи на принцип Дирихле?
Первые задачи такого типа встречаются уже в 3 классе, в формулировке про предметы и коробки. Полноценно, с записью доказательства, тему разбирают в математических кружках для 5–6 классов и при подготовке к олимпиадам. Вычислительных требований здесь почти нет: ребёнку нужно уметь сравнить два числа и довести рассуждение до конца. Поэтому тема подходит и детям, которые считают медленно, но любят думать над условием.
Чем принцип Дирихле помогает на олимпиаде по математике?
Олимпиадная задача редко решается прямым вычислением: от ребёнка ждут рассуждения, которое закрывает все случаи одним ходом. Принцип Дирихле даёт готовый способ так рассуждать, поэтому его разбирают одним из первых. Ребёнок, который освоил приём на кроликах и носках, потом узнаёт ту же схему в задачах про точки на отрезке, про остатки от деления и про раскраски клеток.
Как объяснить принцип Дирихле ребёнку, который не понимает доказательства?
Уберите слова и оставьте предметы. Возьмите шесть чашек и семь ложек, попросите положить по одной ложке в каждую чашку. Когда чашки закончатся, а ложка останется в руке, спросите, куда её деть. Потом повторите тот же вопрос на числах, без предметов, и попросите проговорить вывод целиком. Переход от предметов к записи занимает несколько заходов, и это нормальный темп.
Если хотите понять, на каком уровне ребёнок сейчас и готов ли он к углублённой математике, запишите его на бесплатный пробный урок с диагностикой в Академии КВАНТ.
