Задачи на взвешивание: как найти фальшивую монету за наименьшее число взвешиваний
Задачи на взвешивание решаются делением монет на три группы, по возможности равные: чашечные весы дают три разных ответа, и каждое взвешивание сокращает число подозрительных монет втрое. Поэтому среди девяти монет фальшивую находят за два взвешивания, среди двадцати семи за три. Разбираем решение по шагам и вопросы, которые стоит задать ребёнку по ходу.
Задачи на взвешивание в школьной программе и на олимпиадах
Ребёнок приносит из школы листок с задачей про монеты и весы, а вместе с ним вопрос, на который родителю нечего ответить. Такие задачи дают в кружках, в олимпиадных подборках и на школьном этапе олимпиады по математике, куда ученик 4–6 класса попадает прямо в школе.
Трудность у них одна и та же. В обычном школьном задании есть готовый ход: сложить, разделить, подставить в формулу. Здесь ребёнок сам решает, как разделить монеты и что именно он узнает после взвешивания. Арифметики почти нет, а рассуждать надо много, и ребёнок с хорошими оценками по математике может застрять на первой строчке условия.
Родителю в этот момент достаточно одного: не выдавать готовое решение. Ниже разобран классический вариант задачи, а следом собраны вопросы, которые стоит задать ребёнку вместо подсказки.
Условие классической задачи про фальшивую монету
Условие звучит так. Есть девять одинаковых на вид монет, одна из них фальшивая и легче настоящих. Есть чашечные весы с двумя чашами, гирь нет. Нужно найти фальшивую монету за два взвешивания.
В условии два места, которые дети проскакивают. Первое: весы без гирь не показывают вес, они показывают только, какая чаша перевесила. Второе: наименьшее число взвешиваний означает результат, который сработает при любом положении фальшивой монеты. Два взвешивания это гарантия, а не удача.
Разбор задачи про девять монет по шагам
Шаг 1. Считаем, сколько ответов даёт одно взвешивание. Чашечные весы показывают три исхода: перевесила левая чаша, перевесила правая, чаши уравновесились. Три исхода означают, что за одно взвешивание монеты можно разделить на три части и понять, в какой из них лежит фальшивая.
Шаг 2. Делим девять монет на три группы по три. Назовите группы А, Б и В. Группу А кладём на левую чашу, группу Б на правую, группа В остаётся на столе.
Шаг 3. Читаем первое взвешивание. Исходов ровно три, и каждый указывает на одну группу:
- Левая чаша поднялась вверх. Она легче, фальшивая монета в группе А.
- Правая чаша поднялась вверх. Фальшивая монета в группе Б.
- Чаши уравновесились. В группах А и Б все монеты настоящие, фальшивая лежит в группе В.
После первого взвешивания под подозрением остаются три монеты вместо девяти.
Шаг 4. Делаем второе взвешивание. Из трёх оставшихся монет одну кладём на левую чашу, вторую на правую, третью оставляем на столе. Если одна из чаш поднялась вверх, фальшивая монета лежит на ней. Если чаши уравновесились, фальшивая та, что осталась на столе.
Проверьте вместе с ребёнком все три ветки первого взвешивания. Решение считается найденным, когда ответ получается во всех трёх ветках, включая неудобную.
Правило деления на три работает и с другими числами. За одно взвешивание проверяются три монеты, за два девять, за три двадцать семь: каждое следующее взвешивание умножает число монет на три.
Вопросы, которые родитель задаёт ребёнку по ходу решения
Задавайте их по одному и ждите ответа, даже если пауза затянулась на минуту. Каждый вопрос двигает ребёнка на шаг вперёд и не выдаёт решение:
- Сколько разных ответов может дать одно взвешивание?
- Если ответов три, на сколько групп удобно разложить монеты?
- Что мы узнаем, когда чаши уравновесятся?
- Сколько монет останется под подозрением после первого взвешивания?
- Сработает ли твой способ, если фальшивая монета лежит в третьей группе?
- Сколько монет ты проверишь этим способом за три взвешивания?
Последний вопрос переводит разговор с одной задачи на правило, по которому решаются все остальные.
Ошибки детей в задачах на взвешивание монет
Ошибки здесь повторяются, и почти все они про одно: ребёнок переносит в новую задачу привычку из старых.
- Делят монеты пополам. Ребёнок кладёт по четыре монеты на чаши, одну оставляет на столе. При таком делении третий исход весов почти ничего не даёт, и на девять монет в худшем случае уходит три взвешивания вместо двух.
- Сравнивают монеты парами. Первая со второй, третья с четвёртой, пятая с шестой и так далее. Фальшивая монета в итоге находится, но взвешиваний выходит до четырёх.
- Пропускают случай равновесия. Ребёнок разбирает два исхода и не проверяет, что делать с уравновешенными чашами. Одна ветка рассуждения остаётся пустой, а вместе с ней и треть монет.
- Проверяют решение на удачном случае. Ребёнок мысленно кладёт фальшивую монету в первую группу и считает задачу решённой. Попросите его переложить фальшивую в третью группу и повторить рассуждение целиком.
Стоит развести два ответа: «у меня получилось за два взвешивания» и «двух взвешиваний хватит всегда». Ребёнок обычно имеет в виду первое, а задача спрашивает второе.
Три задачи на взвешивание для самостоятельной тренировки
Дайте ребёнку 10–15 минут на каждую задачу без подсказок и без ваших наводящих вопросов. Ответы собраны в следующем разделе, показывайте их после попытки:
- Задача 1. Есть восемь монет, одна из них легче остальных. Весы чашечные, гирь нет. Найдите фальшивую монету за два взвешивания.
- Задача 2. Есть двадцать семь монет, одна легче остальных. Найдите фальшивую за три взвешивания.
- Задача 3. Есть десять монет, одна легче остальных. Какого наименьшего числа взвешиваний хватит, чтобы найти её наверняка?
Ответы к тренировочным задачам
Задача 1. Разложите восемь монет на группы из трёх, трёх и двух монет. Взвесьте две тройки. Если одна чаша поднялась вверх, фальшивая монета в ней: положите на чаши по одной монете из этой тройки, и второе взвешивание даст ответ. Если чаши уравновесились, фальшивая среди двух отложенных монет, взвесьте их друг против друга.
Задача 2. Разделите монеты на три группы по девять. После первого взвешивания останется девять монет, после второго три, после третьего одна. Здесь работает то же правило деления на три, что и в задаче про девять монет.
Задача 3. Хватит трёх взвешиваний. Двух мало: два взвешивания дают девять сочетаний ответов, а монет десять, поэтому двум монетам достанется один и тот же результат. Как разложить: четыре, три и три монеты. Взвесьте две тройки. Если одна чаша легче, под подозрением три монеты и остаётся одно взвешивание. Если чаши уравновесились, под подозрением четыре монеты, а на них хватает двух взвешиваний.
Задачи на взвешивание готовят ребёнка к математике 5–7 классов
Ребёнок учится разбирать случаи и доказывать, что меньшего числа ходов не хватит. Это то же рассуждение, которое в 5–6 классах понадобится в задачах на делимость и остатки, а в 7 классе в первых доказательствах по алгебре и геометрии. Заодно уходит страх перед условием, в котором нет знакомой формулы, и это помогает при переходе в 5 класс, где объём материала растёт.
В КВАНТе нестандартные задачи разбирают на занятиях в мини-группах до шести человек: дети предлагают ходы и обсуждают их вслух. Домашние задания проверяет и разбирает преподаватель с обратной связью, поэтому неполный разбор случаев не остаётся незамеченным.
По наблюдениям преподавателей КВАНТа, ребёнок, который проговаривает три исхода взвешивания до того, как передвинет первую монету, доходит до решения без подсказки чаще остальных.
Понять, где ребёнок рассуждает уверенно, а где стоит укрепить базу, помогает отдельный разбор: как понять, готов ли ребёнок к углублённой математике. Если хотите увидеть это на живой задаче, запишите ребёнка на бесплатный пробный урок с диагностикой: педагог посмотрит вычислительные навыки и умение решать задачи, а вы получите карту знаний и рекомендации по обучению.
Частые вопросы
С какого класса детям дают задачи на взвешивание?
Задачи на взвешивание встречаются уже в начальной школе: в олимпиадных подборках и на школьном этапе олимпиады, который в 4–6 классах проходит прямо в школе. Для решения хватает устного счёта в пределах двух-трёх десятков и умения делить предметы на равные группы, сложная арифметика тут не нужна. Начинают обычно с шести и девяти монет. В 5–6 классе берут двадцать семь монет, а также более трудный вариант условия, где заранее неизвестно, легче фальшивая монета или тяжелее: там правило деления на три работает иначе и монет помещается меньше.
Сколько монет можно проверить за три взвешивания?
До двадцати семи, если известно, что фальшивая монета легче настоящих. Каждое взвешивание делит монеты на три группы и оставляет под подозрением треть: после первого взвешивания из двадцати семи монет остаётся девять, после второго три, после третьего одна. Для двадцати восьми монет трёх взвешиваний уже не хватит, понадобится четвёртое, а четыре взвешивания закрывают до восьмидесяти одной монеты.
Как объяснить ребёнку задачу про фальшивую монету?
Возьмите настоящие монеты и разложите их на столе. Нарисуйте весы с двумя чашами и спросите ребёнка, какие ответы весы вообще умеют давать. Когда он назовёт три исхода, предложите ему самому решить, сколько монет класть на каждую чашу. Если ребёнок застрял на девяти монетах, уменьшите условие до трёх и найдите фальшивую за одно взвешивание, а потом вернитесь к девяти.
