Задачи на переливание: разбираем классическую задачу с двумя сосудами
Задачи на переливание решают перебором понятных действий: наполнить сосуд до края, вылить его, перелить из одного в другой. В классической задаче с двумя сосудами на 3 и 5 литров нужные 4 литра получаются за шесть таких действий, и ничего, кроме аккуратного перебора, для ответа не требуется.
Условие классической задачи с двумя сосудами
Формулировка короткая. Есть два пустых сосуда без делений, на 3 и на 5 литров, рядом кран с водой и раковина, куда воду разрешено выливать. Нужно отмерить ровно 4 литра.
Родитель обычно видит такую картину: ребёнок читает условие, говорит «тут не хватает данных» и ждёт подсказки. Данных хватает. В задаче нет действия «отмерить половину», а в обычных заданиях нужная операция названа прямо.
Разрешённых действий ровно три:
- Наполнить. Набрать сосуд из крана до края.
- Вылить. Опорожнить сосуд в раковину полностью.
- Перелить. Переливать из одного сосуда в другой, пока первый не опустеет или второй не наполнится до края.
Других действий нет, поэтому вариантов на каждом шаге мало и их можно перебрать все.
Разбор задачи на переливание по шагам
Договоритесь о записи: после каждого действия пишем пару чисел, сколько литров в большом сосуде и сколько в малом. Начинаем с 0 и 0.
- Наполните большой сосуд. В большом 5 литров, малый пуст.
- Перелейте из большого в малый, пока малый не наполнится. В малый вошло 3 литра, в большом осталось 2.
- Вылейте воду из малого. В большом 2 литра, малый пуст.
- Перелейте 2 литра из большого в малый. В малом 2 литра, большой пуст.
- Наполните большой сосуд. В большом 5 литров, в малом 2.
- Перелейте из большого в малый до края. Малому не хватало 1 литра, значит в большом осталось 4 литра. Это ответ.
Решающий момент шестой: в малом сосуде считают не воду, а свободное место. Пустой литр работает как мерка, которой отрезают лишнее от пяти.
Вопросы, которые стоит задавать по ходу решения:
- Сколько воды в каждом сосуде прямо сейчас?
- Сколько ещё войдёт в малый сосуд до края?
- Какое из трёх действий ты выбираешь и что после него изменится?
- Такая пара чисел у нас уже была?
Последний вопрос экономит больше всего времени: если пара чисел повторилась, ребёнок вернулся туда, где уже был, и дальше пойдёт по кругу.
Второй путь решения той же задачи
Те же 4 литра получаются, если начинать с малого сосуда. В каждом пункте здесь по два действия.
- Наполните малый и вылейте его в большой. В большом 3 литра.
- Наполните малый и доливайте в большой до края. В большой вошло 2 литра, в малом остался 1.
- Вылейте большой, перелейте в него 1 литр из малого.
- Наполните малый и вылейте его в большой. Получилось 1 и 3, то есть 4 литра.
В первом пути шесть действий, во втором восемь: покажите ребёнку оба и спросите, почему второй длиннее. У задачи несколько решений, и это нормально, а привычка «ответ один, путь один» мешает потом в геометрии. Похожий разбор для 2 и 3 класса собран в статье как научить ребёнка решать уравнения.
Где дети ошибаются в задачах на переливание
Ошибки здесь однотипные, и каждая из них рабочий материал для разговора.
- Делят на глаз. Ребёнок наливает «половину» пятилитрового сосуда и получает 2,5 литра. Сосуды без делений, на глаз отмерять нельзя.
- Теряют состояние. После третьего действия ребёнок не помнит, сколько воды где. Помогает запись парой чисел в столбик.
- Ходят по кругу. Наполнил, перелил, вылил, снова наполнил, и картина повторяется. Помогает вопрос про повтор пары чисел.
- Забывают про раковину. Дети считают, что воду можно только наливать и переливать. Выливать её тоже разрешено, а без этого действия задача не решается.
Отдельная ошибка родителя: подсказать готовую последовательность. Ребёнок запишет её и не научится перебирать варианты. Если решение встало, дайте две банки и воду.
Когда отмерить нужное количество невозможно
Не любая пара сосудов подходит для любого ответа. Возьмите сосуды на 4 и 6 литров и попробуйте отмерить 5 литров: не получится ни одним способом.
Причина видна из записи состояний. И 4, и 6 делятся на 2, поэтому после любого разрешённого действия в каждом сосуде стоит чётное число литров: 0, 2, 4 или 6. Число 5 нечётное, в этот список оно не попадает никогда.
Здесь появляется наибольший общий делитель, то есть самое большое число, на которое делятся оба объёма сразу: у 4 и 6 это 2, у 3 и 5 это 1. Отмерить можно любое количество литров, которое делится на это число и не превышает объём большего сосуда. У сосудов на 3 и 5 литров общий делитель равен 1, поэтому получаются все объёмы от 1 до 5 литров, включая наши 4.
Пусть ребёнок выпишет на сосудах 4 и 6 литров все пары чисел, которые у него получаются, и убедится, что нечётных среди них нет.
Три задачи на переливание для тренировки
На каждую задачу хватает 10–15 минут. Условие одинаковое: сосуды без делений, кран и раковина рядом, воды сколько угодно. Ответы даны в конце статьи.
- Сосуды на 4 и 9 литров. Отмерьте 6 литров.
- Сосуды на 5 и 8 литров. Отмерьте 2 литра.
- Сосуды на 3 и 7 литров. Отмерьте 5 литров.
Просите записывать пару чисел после каждого действия: решение без записи обычно означает, что ребёнок подсмотрел ответ.
Что задачи на переливание дают ребёнку дальше
Умение перебирать варианты и держать состояние в голове пригодится в 5 классе, где растёт объём материала и скорость прохождения тем: дети, привыкшие действовать по образцу, спотыкаются на первой незнакомой формулировке. Об этом разбор, почему в 5 классе падают оценки по математике. Задания такого типа встречаются и в школьном туре олимпиады у учеников 4–6 классов.
В КВАНТе нестандартные методы решения входят в программу углублённой математики, а задачи разного уровня сложности дети разбирают на уроках в мини-группах до 6 человек, где каждый объясняет свой ход вслух. Домашние задания проверяет и разбирает преподаватель с обратной связью, поэтому ребёнок видит разбор своего хода решения целиком, вместе с причиной ошибки.
По наблюдениям преподавателей КВАНТа, ребёнок, который научился записывать состояние после каждого действия, дальше увереннее берётся за задачи на движение и на части. Понять, где ребёнок сейчас и готов ли он к программе повышенной сложности, помогает материал о том, готов ли ребёнок к углублённой математике.
Ответы к тренировочным задачам
Задача 1, сосуды 4 и 9 литров. Наполните девятилитровый, перелейте в четырёхлитровый, в большом остаётся 5. Вылейте малый, перелейте в него 4 литра из большого, в большом остаётся 1. Вылейте малый, перелейте в него этот 1 литр. Наполните большой и долейте малый до края: войдёт 3 литра, в большом останется 6.
Задача 2, сосуды 5 и 8 литров. Наполните пятилитровый и вылейте его в восьмилитровый. Наполните пятилитровый снова и доливайте в большой до края: войдёт 3 литра, в малом останется 2.
Задача 3, сосуды 3 и 7 литров. Наполните семилитровый, перелейте в трёхлитровый, в большом остаётся 4. Вылейте малый, перелейте в него 3 литра, в большом остаётся 1. Вылейте малый, перелейте в него этот 1 литр. Наполните большой и долейте малый до края: войдёт 2 литра, в большом останется 5.
Начать системные занятия математикой можно с бесплатного пробного урока с диагностикой: педагог посмотрит уровень ребёнка и подберёт программу.
Частые вопросы
С какого класса ребёнку дают задачи на переливание?
Обычно с 3 класса, когда ребёнок уверенно складывает и вычитает в пределах 20 и умеет записывать ход решения. В рабочих тетрадях и на занятиях кружка такие задания идут как работа на рассуждение, в школьных турах олимпиад они встречаются у 4–6 классов. Второкласснику задачу тоже можно дать, если взять маленькие числа, например сосуды на 2 и 3 литра, и решать с настоящими кружками на кухне. Сложность регулируется числами, а не возрастом ребёнка.
Что делать, если ребёнок не может начать решать задачу на переливание?
Дайте ему настоящие сосуды: две банки разного объёма и воду. Ребёнок делает первое действие руками и сразу видит результат, тупик на бумаге при этом исчезает. После каждого переливания спрашивайте, сколько воды в каждой банке, и записывайте пару чисел в столбик. Если ребёнок встал, предложите начать с другого сосуда: в задаче про 3 и 5 литров есть путь от большого и путь от малого. Подсказывать ответ не нужно, достаточно вернуть ребёнка к вопросу, сколько ещё войдёт во второй сосуд.
Как проверить, что ребёнок решил задачу на переливание правильно?
Попросите его прочитать решение вслух по действиям и после каждого назвать, сколько литров в каждом сосуде. Проверка состоит из трёх пунктов: каждое действие входит в число разрешённых, объём ни в одном сосуде не превышает его вместимости, в конце нужное количество стоит в одном из сосудов. Если ребёнок называет состояния уверенно и ни одна пара чисел не повторяется дважды, решение верное. Записанная пара чисел после каждого шага делает проверку понятной и для ребёнка, и для родителя.
