Задачи на чётность: как одна идея решает олимпиадную задачу
Задачи на чётность решаются одной идеей: найти величину, которая при каждом ходе меняется на чётное число, и сравнить её значение в начале и в конце. Если в начале величина чётная, а в конце требуется нечётная, ответ получен: так сделать нельзя, и перебирать варианты уже не нужно. Разберём эту идею на олимпиадной задаче про монеты, соберём вопросы, которые стоит задать ребёнку по ходу решения, и дадим три задачи для тренировки дома.
Задачи на чётность держатся на одной идее
Чётное число это число, которое делится на 2 без остатка: 4, 10, 26. Нечётное при делении на 2 оставляет единицу: 7, 15, 33. Ребёнок обычно знает это с начальной школы и проверяет по последней цифре.
Олимпиадная задача добавляет один шаг. В ней есть действие, которое повторяют много раз: перевернуть монеты, сделать прыжок, поменять знак. Если при каждом таком действии выбранная величина меняется на чётное число, её чётность остаётся прежней навсегда. Начали с чётного значения, значит чётным оно останется и после десяти ходов, и после тысячи.
Проверьте это на числах вместе с ребёнком. Начинаем с 0, прибавляем по 2: получаем 2, 4, 6, 8. Отнимаем 2: снова 6, 4, 2, 0. Нечётное число в этой цепочке не появляется ни разу. Отсюда и берётся сила приёма: чтобы доказать, что задача не решается, достаточно показать, что нужный результат нечётный, а величина всегда остаётся чётной.
Задача, на которой останавливается даже сильный ученик
Вот условие задачи олимпиадного уровня для 4 и 5 класса.
На столе лежат 25 монет, все орлом вверх. За один ход разрешается перевернуть ровно две любые монеты. Можно ли за несколько ходов добиться, чтобы все монеты лежали решкой вверх?
Дома это выглядит так. Ребёнок, который быстро считает и без ошибок решает примеры, берёт монеты, переворачивает их так и эдак, через десять минут говорит «наверное, нельзя». Объяснить, почему нельзя, он не может, а в олимпиадной работе балл ставят именно за объяснение.
Причина не в слабой подготовке. Школьное задание просит вычислить и получить число. Олимпиадное просит доказать, что другого исхода не бывает. Это другой тип работы, и ему учатся отдельно.
Разбор олимпиадной задачи по шагам
Дайте ребёнку настоящие монеты и пройдите четыре шага. Каждый шаг начинается с вопроса, ответ ребёнок проговаривает вслух.
Шаг 1. Выбрать величину и записать её начальное значение
Спросите: «Сколько монет лежит решкой вверх в самом начале?» Ответ: ноль, потому что все монеты лежат орлом. Ноль чётный. Запишите эту цифру на листе, дальше она понадобится.
Шаг 2. Посмотреть, что делает один ход
Спросите: «Что может случиться с числом решек за один ход?» Пусть ребёнок разберёт три случая своими руками: перевернули две монеты, лежавшие орлом, решек стало на 2 больше; перевернули две решки, решек стало на 2 меньше; перевернули одну решку и один орёл, решек осталось столько же.
Шаг 3. Заметить, что чётность не меняется
Спросите: «Может ли чётное число стать нечётным, если прибавлять и отнимать по 2?» Ребёнок проверяет по цепочке 0, 2, 4, 6 и отвечает, что не может. Значит число решек на столе всегда чётное, сколько бы ходов ни сделали.
Шаг 4. Сравнить с тем, что требуется в ответе
Спросите: «Сколько решек должно получиться в конце и какое это число, чётное или нечётное?» В конце нужно 25 решек, а 25 нечётное. Число решек всегда чётное, поэтому 25 не получится никогда. Задача решена, и ответ звучит так: добиться этого нельзя.
Обратите внимание ребёнка: мы не перебрали ни одного варианта расстановки монет, а ответ получили полный. Именно это ценится в олимпиадной работе.
Вторая задача на чётность: кузнечик на прямой
Кузнечик прыгает по прямой линии. За один прыжок он перемещается ровно на 1 см влево или вправо. Может ли кузнечик вернуться в точку старта ровно за 9 прыжков?
Здесь удобно считать сами прыжки. Спросите: «Чтобы вернуться назад, сколько прыжков влево и вправо должен сделать кузнечик?» Поровну: каждый прыжок вправо нужно погасить прыжком влево. Если прыжков влево и вправо поровну, их общее число делится на 2, то есть чётное. А 9 нечётное, поэтому вернуться за 9 прыжков кузнечик не может.
Дайте ребёнку контрольный вопрос: «А за 10 прыжков вернуться получится?» Получится: пять прыжков вправо и пять влево. Второй вопрос показывает, что приём работает в обе стороны.
Типичные ошибки в задачах на чётность
- Перебор вместо объяснения. Ребёнок проверяет пять расстановок, не находит нужную и пишет «нельзя». В олимпиадной работе это не ответ: проверено пять случаев, а всего их тысячи.
- Выбрана не та величина. Ребёнок следит за числом ходов, хотя в условии спрашивают про число монет решкой вверх. Помогает вопрос: «Про какое число тебя спрашивают в самом конце?»
- Потеряно начальное значение. Ребёнок находит, что величина меняется на 2, но забывает записать, чему она равна в начале. Без начального значения сравнивать не с чем.
- Разобран один случай хода вместо всех. В задаче про монеты ребёнок смотрит только вариант «перевернули два орла» и пропускает два остальных. Доказательство держится, когда проверены все случаи одного хода.
Три задачи на чётность для тренировки дома
Давайте по одной задаче в день и не подсказывайте первые 10 минут. Если ребёнок застрял, задайте тот же вопрос, что и в разборе: что меняется после каждого хода и на сколько. Ответы собраны в конце статьи.
- Рукопожатия. В классе 15 человек, и каждый пожал руку ровно троим одноклассникам. Может ли так быть?
- Плюсы и минусы. Числа от 1 до 10 выписали в строку и между ними расставили знаки «плюс» и «минус». Может ли в ответе получиться 0?
- Улитка на доске. Доска 5 на 5 клеток. Улитка переползает в соседнюю клетку через сторону, проходит каждую клетку ровно один раз и возвращается в клетку, с которой начала. Возможен такой путь?
Идея чётности пригодится ребёнку в 5 и 6 классе
Умение найти величину, которая не меняется, работает дальше по школьной программе. В 5 и 6 классе этот приём используют в задачах про делимость и остатки, в 7 классе с него начинаются первые доказательства в алгебре и геометрии. Ребёнок, который привык объяснять «почему по-другому не бывает», спокойнее проходит переход в среднюю школу, где оценки по математике часто проседают. Чётность относится и к классическим олимпиадным приёмам, поэтому её разбирают при подготовке к школьному этапу у учеников 4–6 классов.
По наблюдениям преподавателей КВАНТа, идея чётности принимается быстрее, когда ребёнок сначала проговаривает вслух, что меняется после одного хода, и только потом записывает решение. Поэтому занятия в школе идут в мини-группах до 6 человек: дети разбирают задачи и участвуют в математических обсуждениях, а не слушают объяснение молча. Нестандартные методы решения и задачи повышенной сложности входят в программу углублённой математики, а каждое домашнее задание преподаватель проверяет и разбирает с обратной связью.
Понять, на каком уровне ребёнок сейчас и готов ли он к углублённой математике, помогает бесплатный пробный урок с диагностикой: педагог смотрит вычислительные навыки, умение решать задачи и понимание математических закономерностей.
Ответы к задачам
- Рукопожатия: так быть не может. Сложим рукопожатия всех участников: 15 умножить на 3, получается 45. Каждое рукопожатие мы посчитали дважды, по разу с каждой стороны, поэтому сумма обязана быть чётной. 45 нечётное.
- Плюсы и минусы: ноль не получится. Сумма чисел от 1 до 10 равна 55, это нечётное число. Смена знака у числа меняет ответ на удвоенное это число, то есть на чётную величину. Значит результат остаётся нечётным, а 0 чётный.
- Улитка: такого пути нет. Клеток 25, и чтобы вернуться в начало, улитка делает 25 переходов. Раскрасим доску как шахматную: каждый переход меняет цвет клетки. Вернуться на клетку прежнего цвета можно только за чётное число переходов, а 25 нечётное.
Частые вопросы
С какого класса ребёнку дают задачи на чётность?
Первые задачи появляются уже во 2 и 3 классе в виде вопросов про пары: можно ли разложить предметы поровну, хватит ли всем пары. Полноценные олимпиадные задачи на чётность идут с 4 класса, когда ребёнок уверенно делит на 2 и понимает остаток. В 5 и 6 классе эта же идея работает в задачах про делимость и остатки.
Как объяснить ребёнку чётность и нечётность?
Через пары. Разложите 8 пуговиц по две: пар получилось ровно 4, лишних нет, значит число чётное. Добавьте одну пуговицу: 9 по парам не раскладывается, одна остаётся без пары, число нечётное. После этого запишите те же примеры цифрами и проверьте деление на 2. Ребёнок связывает картинку и запись, и определение держится.
Что делать, если ребёнок решает задачу перебором вариантов?
Перебор это нормальное начало: ребёнок набирает опыт и видит, что ответ всегда один. Дальше задайте вопрос, который переводит его от примеров к объяснению: что меняется после каждого хода и на сколько. Как только ребёнок называет величину и шаг её изменения, он получает аргумент, который заменяет сотню проверок.
